Question

20．积分${∫}_{3}^{4}$lnxdx和${∫}_{3}^{4}$ln²xdx的大小关系是${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx．

Answer 1

分析 先构造函数f（x）=lnx，g（x）=ln²x，由于当x∈[3，4]时，有f（x）＜g（x）在x∈[3，4]恒成立，所以可以得出${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx．

解答 解：设f（x）=lnx，g（x）=ln²x，
当x∈[3，4]时，lnx≥ln3＞lne=1，
因此，ln²x＞lnx在x∈[3，4]恒成立，
即f（x）＜g（x）在x∈[3，4]恒成立，
根据定积分的以及意义可知，
${∫}_{3}^{4}$f（x）dx＜${∫}_{3}^{4}$g（x）dx，
即${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx，
故答案为：${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx．

点评 本题主要考查了定积分及其运算，涉及定积分的几何意义和大小关系的比较，属于中档题．