Question

5．若x²+2（m-1）x+2m+6＞0在x∈[0，2]上总成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上总成，转化为，m在一侧的不等式，通过基本不等式求出另一侧的最值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：∵x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上总成立，
即2m（x+1）＞-（x+1）²+4（x+1）-9，
∵x∈[0，2]，
∴x+1∈[1，3]，
∴2m＞-[（x+1）+$\frac{9}{x+1}$]+4，
∵（x+1）+$\frac{9}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{9}{x+1}}$=6，当且仅当x=2时取等号，
∴2m＞-6+4=-2，
∴m＞-1，
故m的取值范围为（-1，+∞）．

点评 本题考查函数的恒成立问题的应用，二次函数的单调性，基本不等式的应用，考查计算能力以及转化思想．