Question

16．已知函数$f（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$，判断函数的奇偶性，单调性，并且求出值域．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性，单调性，即可判断，从而求出值域．

解答 解：函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），…（2分）
因为$f（-x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{{{2^{-x}}-{2^x}}}=-f（x）$，所以函数是奇函数．  …（4分）
$f（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}=1+\frac{2}{{{2^{2x}}-1}}$，
设x₁＜x₂，则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{{2（{2^{2{x_1}}}-{2^{2{x_2}}}）}}{{（{2^{2{x_1}}}-1）（{2^{2{x_2}}}-1）}}$
当0＜x₁＜x₂时，$1＜{2^{2{x_1}}}＜{2^{2{x_2}}}$，所以f（x₂）＜f（x₁），
所以在（0，+∞）上是减函数；…（8分）
当x₁＜x₂＜0时，${2^{2{x_1}}}＜{2^{2{x_2}}}＜1$，所以f（x₂）＜f（x₁），
所以在（-∞，0）上也是减函数．
由$y=1+\frac{2}{{{2^{2x}}-1}}$，${2^x}=\frac{y+1}{y-1}$，所以y＞1或y＜-1…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性，单调性，值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．