Question

6．已知x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
（1）求函数y=cosx的值域；
（2）求函数y=-3（1-cos²x）-4cosx+4的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数y=cosx的值域．
（2）把函数y的解析式化为y=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，结合cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，利用二次函数的性质求得y的值域．

解答 解：（1）∵y=cosx在[-$\frac{π}{3}$，0]上为增函数，在[0，$\frac{2π}{3}$]上为减函数，
∴当x=0时，y取最大值1；x=$\frac{2π}{3}$时，y取最小值-$\frac{1}{2}$，
∴y=cosx的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．
（2）原函数化为：y=3cos²x-4cosx+1，
即y=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，由（1）知，cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故y的值域为[-$\frac{1}{3}$，$\frac{15}{4}$]．

点评 本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．