Question

14．${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（sinx-acosx）dx=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则实数a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直接根据定积分的运算法则，${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（sinx-acosx）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$sinxdx-a${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$cosxdx，再分别计算定积分，解得a的值．

解答 解：根据定积分的运算法则，
${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（sinx-acosx）dx
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$sinxdx-a${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$cosxdx
=$-cos{x|}_{0}^{\frac{π}{4}}$-a•$sin{x|}_{0}^{\frac{π}{4}}$
=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=0，
解得，a=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了定积分的求解，涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用，属于基础题．