Question

12．AB是圆O的直径，点C，D在圆上，且AB=4，∠AOC=∠A0D=120°，点E，F分别在线段上，且$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OF}$=2λ$\overrightarrow{OD}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值为（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{15}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 设圆O的方程为x²+y²=4，A（2，0），B（-2，0），C（-1，$\sqrt{3}$），D（-1，-$\sqrt{3}$），由条件可得E，F的坐标，求得向量AE，BF的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：如图设圆O的方程为x²+y²=4，
A（2，0），B（-2，0），C（-1，$\sqrt{3}$），D（-1，-$\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OF}$=2λ$\overrightarrow{OD}$，可得
E（-λ，$\sqrt{3}$λ），F（-2λ，-2$\sqrt{3}$λ），
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=（-λ-2，$\sqrt{3}$λ）•（-2λ+2，-2$\sqrt{3}$λ），
=（λ+2）（2λ-2）-6λ²=-4λ²+2λ-4
=-4（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{15}{4}$，
由0≤λ≤1，且0≤2λ≤1，
可得0≤λ≤$\frac{1}{2}$，
当λ=$\frac{1}{4}$时，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值为-$\frac{15}{4}$．
故选C．

点评 本题考查向量的数量积的最大值的求法，注意运用坐标法，考查向量的数量积的坐标表示和二次函数的最值的求法，属于中档题．