Question

2．已知正方形的中心为直线2x-y-2=0和x+y+1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程．

Answer 1

分析 根据两条直线相交求出正方形的中心P的坐标，根据正方形的一条边所在的方程设出其它三边的直线方程，再由P到正方形四条边的距离相等列出方程，求出直线方程即可．

解答 解：根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x+y+1=0}\end{array}\right.$，
解方程组，得正方形中心坐标为P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
因为正方形一边所在直线方程x+3y-5=0，
所以设与之平行的另一条边所在的直线方程为x+3y+m=0，
与之垂直的另两条边的直线方程为3x-y+n=0；
因为中心点P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{4}{3}$）到直线x+3y-5=0的距离为
d=$\frac{|\frac{1}{3}+3×（-\frac{4}{3}）-5|}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}$=$\frac{\frac{26}{3}}{\sqrt{10}}$，
所以令$\frac{|\frac{1}{3}+3×（-\frac{4}{3}）+m|}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}$=$\frac{\frac{26}{3}}{\sqrt{10}}$，
解得m=$\frac{37}{3}$或m=-5（舍去），
所以，与已知边所在直线平行的直线方程为3x+9y+37=0；
又令$\frac{|3×\frac{1}{3}-（-\frac{4}{3}）+n|}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}$=$\frac{\frac{26}{3}}{\sqrt{10}}$，
解得n=-11或n=$\frac{19}{3}$，
所以，与已知边所在直线垂直的直线方程为
3x-y-11=0 或9x-3y+19=0；
所以，正方形其余三边所在的直线方程为
3x+9y+37=0、3x-y-11=0和9x-3y+19=0．

点评 本题考查了两条直线平行与垂直故选的应用问题，也考查了点到直线的距离的应用问题，是综合性题目．