Question

13．点P（x，y）满足平面区域：$\left\{\begin{array}{l}{cosθ≤x≤3cosθ}\\{sinθ≤y≤3sinθ}\end{array}\right.$（θ∈R），点M（x，y）满足：（x+5）²+（y+5）²=1，则|$\overrightarrow{PM}$|的最小值是（　　）

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$-1
• C． 6$\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{61}$-1

Answer 1

分析 由不等式的性质和参数方程的意义，得平面区域Ω是位于第一象限的扇环（含边界），如图所示．由此可得动点P位于点A（1，0）或B（0，1）时，点C到P的距离最小，且此时圆C上点M到P的距离达到最小值．

解答 解：∵在不等式组中cosθ≤3cosθ且sinθ≤3sinθ
∴θ满足cosθ≥0且sinθ≥0
由此可得不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{cosθ≤x≤3cosθ}\\{sinθ≤y≤3sinθ}\end{array}\right.$（θ∈R），
满足1≤x²+y²≤9，且x、y都是大于或等于0，
所以平面区域Ω是位于第一象限的扇环（含边界），如图所示
∵圆C：（x+5）²+（y+5）²=1的圆心为C（-5，-5），半径为1
∴当动点P位于点A（1，0）或B（0，1）时，点C到P的距离最小，
得|PC|最小值为$\sqrt{（1+5）^{2}+（0+5）^{2}}$=$\sqrt{61}$
因此，当点M（x，y）在圆C上运动时，|$\overrightarrow{PM}$|的最小值为$\sqrt{61}$-1；
故选：D．

点评 本题给出不等式组表示的平面区域，求两个动点之间距离的最小值，着重考查了两点间的距离公式和圆的几何性质等知识，属于中档题．