Question

3．设O为△ABC内任一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=0．
（1）若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O共线；
（2）求△ABC与△AOC的面积之比．

Answer 1

分析 （1）分别用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$来表示$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{OD}$，证明$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{OD}$存在倍数关系即可；
（2）作出平面图形，根据平面向量的加法法则推出两个三角形高的关系．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=0，∴$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，
∵D是BC中点，∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$，
$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=-3$\overrightarrow{OD}$，∴D，E，O共线．
（2）延长OC至M点，使得OM=3OC，以OA，OM为邻边作平行四边形OANM，
则$\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{ON}$，∵$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{ON}$=-2$\overrightarrow{OB}$，
∵OM=3OC，∴ON=4OP，
∴OP=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{3}$BP，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{BP}{OP}$=3．

点评 本题考查了平面向量线性运算的性质，正确画出图形并找到线段的关系是关键．