Question

4．集合A={x||x-1|＜1}，B={x|$\frac{2}{x-1}$≥1}，C={x|2x²+mx-1＜0}，若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据不等式的性质求出集合A，B，利用充分条件和必要条件的定义和关系转化为函数关系进行求解即可．

解答 解：A={x||x-1|＜1}={x|0＜x＜2}，
B={x|$\frac{2}{x-1}$≥1}={x|$\frac{2}{x-1}$-1=$\frac{3-x}{x-1}$≥0}={x|1＜x≤3}，
∴A∩B={x|1＜x＜2}
∵“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件       
∴A∩B?C，
设f（x）=2x²+mx-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+m≤0}\\{8+2m-1=2m-7≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤-1}\\{m≤-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
即m≤-$\frac{7}{2}$，

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出集合的等价条件，将不等式关系转化为集合关系是解决本题的关键．