Question

16．如图，在?ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{EF}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=4，∠DAB=60°，分别求|$\overrightarrow{EF}$|和$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{FE}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知结合向量减法的三角形法则得答案；
（2）由（1）结合$|\overrightarrow{EF}{|}^{2}={\overrightarrow{EF}}^{2}$，展开后代入数量积公式求解．再由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}）$，展开多项式乘多项式后代入数量积公式求解．

解答 解：（1）如图，
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$；
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=4，∠DAB=60°，
∴$|\overrightarrow{EF}{|}^{2}=（\frac{1}{3}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}）^{2}$=$\frac{1}{9}|\overrightarrow{b}{|}^{2}-\frac{4}{9}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$
=$\frac{16}{9}-\frac{4}{9}×1×4×cos60°+\frac{4}{9}$=$\frac{4}{3}$．
∴|$\overrightarrow{EF}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{FE}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}）$=$\frac{2}{3}$$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$-\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×1×4×cos60°-\frac{16}{3}$=$-\frac{8}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．