Question

7．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$都是单位向量，且$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{2}$．设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为θ，则θ=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 运用两边平方，结合向量的平方即为模的平方，可得向量a，b的数量积，代入化简可得向量a，c的数量积；再由向量的夹角公式得到所求夹角．

解答 解：由$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$都是单位向量，且$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{c}$，
平方可得，$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$²，
即有1+1+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，
即为$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{1×1}$=-$\frac{1}{2}$，
由0≤θ≤π，可得θ=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的夹角的求法，注意运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，属于中档题．