Question

6．过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$3-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$，即可得出结论．

解答 解：设直线l的方程为：x=y-$\frac{p}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x=y-$\frac{p}{2}$，代入x²=2py，可得y²-3py+$\frac{1}{4}$p²=0，
∴y₁=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$p，y₂=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$p，
从而，$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$3-2\sqrt{2}$．
故答案为：$3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义，得出$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$是解题的关键．