Question

12．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}}&{（x≤0）}\\{x+\frac{1}{x}+a}&{（x＞0）}\end{array}\right.$的最小值为f（0），则实数a的取值范围（　　）

• A． [-1，2]
• B． [-1，0]
• C． [1，2]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得2+a≥a²，又a≥0，从而解得a的范围．

解答 解：当x＞0时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+a≥2+a；
（当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，等号成立）；
故当x=1时取得最小值2+a，
∵f（0）是函数f（x）的最小值，
∴当x≤0时，f（x）=（x-a）²单调递减，
故a≥0，
此时的最小值为f（0）=a²，
故2+a≥a²，
解得，-21≤a≤2．
又a≥0，可得0≤a≤2．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的单调性，属于中档题．