Question

7．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x²-5x+6=0的两根，且2cos（A+B）=-1．求：
（1）角C的度数；
（2）AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意和三角形的知识可得cosC=$\frac{1}{2}$，可得C=60°；
（2）由题意和韦达定理可得a+b=5，ab=6，再由由余弦定理可得AB²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，整体代值计算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中2cos（A+B）=-1，
∴-2cosC=-1，解得cosC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=60°；
（2）∵a，b是方程x²-5x+6=0的两根，
∴由韦达定理可得a+b=5，ab=6，
∴由余弦定理可得AB²=a²+b²-2abcosC
=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=7，
故AB=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查解三角形，涉及韦达定理和余弦定理以及整体思想，属中档题．