Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n≠0，则“S_n+1=3a_n+1+2S_n”是“数列{a_n}为等比数列”的（　　）

• A． 充要条件
• B． 充要不必要条件
• C． 必要不充分条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：若S_n+1=3a_n+1+2S_n，
则当n≥2时，S_n=3a_n+2S_n-1，
两式作差得S_n+1-S_n=3（a_n+1-a_n）+2（S_n-S_n-1），
即a_n+1=3（a_n+1-a_n）+2a_n=3a_n+1-a_n，
即2a_n+1=a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，（n≥2），则数列从第3项开始为等比数列，
若数列{a_n}为等比数列，若q=1，
则由S_n+1=3a_n+1+2S_n，得（n+1）a₁=3a₁+2na₁，
即n+1=3+2n，即n=-2不成立，即q≠1，即S_n+1=3a_n+1+2S_n不成立，
即“S_n+1=3a_n+1+2S_n”是“数列{a_n}为等比数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的定义和性质是解决本题的关键．