Question

17．设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且AF=$\frac{1}{3}$AB，BD=$\frac{1}{4}$BC，CE=$\frac{1}{2}$CA，若记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{n}$，试用$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$表示$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{FD}$．

Answer 1

分析 结合图形，利用平面向量加法的集合意义，分别用$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$表示出$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{FD}$，然后相加即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{n}-\overrightarrow{m}$，∴$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{m}$-$\frac{1}{4}\overrightarrow{n}-\frac{1}{4}\overrightarrow{m}$=$\frac{5}{12}\overrightarrow{m}-\frac{1}{4}\overrightarrow{n}$．
$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$=-$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$=-$\overrightarrow{m}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{FD}$=-$\overrightarrow{m}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{n}$+$\frac{5}{12}\overrightarrow{m}-\frac{1}{4}\overrightarrow{n}$=-$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{m}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{n}$．

点评 本题考查了平面向量加法的几何意义，结合图象是解题关键．