Question

12．函数y=$\frac{4sinx+1}{2cosx-4}$的最大值是$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 变形已知式子，由三角函数的有界性可得$|{\frac{1+4y}{{\sqrt{4{y^2}+16}}}}|≤1$，解不等式可得．

解答 解：∵$y=\frac{4sinx+1}{2cosx-4}$，∴2ycosx-4y=4sinx+1，
∴2ycosx-4sinx=1+4y，
∴$\sqrt{4{y}^{2}+16}$cos（x+φ）=1+4y，其中tanφ=$\frac{2}{y}$，
∴$cos（x+ϕ）=\frac{1+4y}{{\sqrt{4{y^2}+16}}}$，∵|cos（x+ϕ）|≤1，
∴$|{\frac{1+4y}{{\sqrt{4{y^2}+16}}}}|≤1$，解得$-\frac{3}{2}≤y≤\frac{5}{6}$，
∴所求最大值为$\frac{5}{6}$，
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的有界性和不等式的解法，属基础题．