Question

20．已知点P（x，y）的坐标满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{y≤2}\\{2x+y-2≥0}\end{array}\right.$，记$\frac{y}{x+2}$的最大值为a，x²+（y+$\sqrt{3}$）²的最小值为b，则a+b=5．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据斜率和距离的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
设k=$\frac{y}{x+2}$，则k的几何意义是区域内的点到E（-2，0）的斜率，
设z=x²+（y+$\sqrt{3}$）²，则z的几何意义为区域内的点到点F（0，-$\sqrt{3}$）的距离的平方，
由图象知AF的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（0，2），
则k=$\frac{2}{0+2}=1$，即a=1，
C（1，0）到F到的距离最小，
此时|CF|=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{1+3}=\sqrt{4}$=2，
故d=|CF|²=4，
则a+b=1+4=5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用直线斜率和距离公式结合数形结合是解决本题的关键．