Question

5．给出下列四个命题：
（1）函数f（x）=2^x-x²只有两个零点；
（2）已知集合A={x∈R|x²-4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠∅，则实数a∈（-∞，-2]；
（3）设x₁满足2x+2^x=5，x₂满足2x+2log₂（x-1）=5，则${x_1}+{x_2}=\frac{7}{2}$；
（4）已知点$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，3\sqrt{3}）$在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的单调减区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
其中正确的序号的是（3），（4）．（把正确的序号全部写上）

Answer 1

分析 （1）作出函数y=2^x，y=x²的图象，由图象知两函数有3个交点，
（2）若A∩B≠∅，A中至少含有一个负数，对方程x²-4ax+2a+6=0分类讨论即可．
（3）分别代人得2x₁+2^x1=5，2x+2log₂（x-1）=5，2x₂+2log₂（x₂-1）=5，利用构造设t=log₂（x₂-1），得出对数和指数的关系，进而求解．
（4）把点代人，得出幂函数f（x）=x^-3，由幂函数的性质和奇函数的性质可得出结论．

解答 （1）函数f（x）=2^x-x²，
作出函数y=2^x，y=x²的图象，由图象知两函数有3个交点，
∴f（x）=2^x-x²有3个零点，故命题（1）错误；
（2）已知集合A={x∈R|x²-4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠∅，
∴A中至少含有一个负数，即方程x²-4ax+2a+6=0至少有一个负根．　
当方程有两个负根时，△≥0，4a＜0，2a+6＞0，解得：-3＜a≤1；　
当方程有一个负根与一个正根时，△＞0，2a+6＜0，∴a＜-3；　　
当方程有一个负根与一个零根时，△＞0，4a＜0，2a+6=0，∴a=-3；　　
∴a＜-3或-3＜a≤1或a=-3，
∴a≤-1，从而实数a的取值范围为（-∞，-1]，故错误；
（3）设x₁满足2x+2^x=5，x₂满足2x+2log₂（x-1）=5，
x₁满足：2x+2^x=5，2x₁+2^x1=5
x₂满足：2x+2log₂（x-1）=5，2x₂+2log₂（x₂-1）=5
设t=log₂（x₂-1）
则x₂-1=2^t
∴x₂=1+2^t
∴2（1+2^t）+2t=5
∴2（t+1）+2^（t+1）=5
∴x₁和t+1都是方程2x+2^x=5的解
所以：x₁=t+1=log₂（x₂-1）+1=log₂（2x₂-2）
2x₂-2=2^（x1）
2x₂=2+2^（x1）
∴2x₁+2x₂=2x₁+2+2^（x1）
=2x₁+2+（5-2x₁）
=7
则${x_1}+{x_2}=\frac{7}{2}$，故正确；
（4）已知点$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，3\sqrt{3}）$在幂函数f（x）的图象上，
设幂函数f（x）=x^a，
∴3$\sqrt{3}$=$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{a}$，
∴a=-3，
则f（x）=x^-3，函数为奇函数，单调减区间为（-∞，0）和（0，+∞），故正确．
故答案为（3），（4）．

点评 考查了零点的概念，方程根的分类，幂函数的性质．