Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{{a}_{n}+5}{2}，n≥2}\end{array}\right.$，T_n=$\frac{1}{{{b}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{b}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{b}_{3}}^{2}}+…\frac{1}{{{b}_{n}}^{2}}$，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=n，$\frac{1}{{k}^{2}}＜\frac{1}{k（k-1）}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$，利用放缩法和裂项求和法能证明T_n＜2．

解答 解：（1）∵${S}_{n}={n}^{2}-4n+4$，∴a₁=S₁=1-4+4=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，
n=1时，2n-5=-3≠a₁，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{{a}_{n}+5}{2}，n≥2}\end{array}\right.$，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．∴b_n=n，
∵$\frac{1}{{k}^{2}}＜\frac{1}{k（k-1）}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$，k=2，3，4，…，n
∴T_n=$\frac{1}{{{b}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{b}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{b}_{3}}^{2}}+…\frac{1}{{{b}_{n}}^{2}}$
=$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$
＜$1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$，
∴T_n＜2．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的前n项和小于2的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．