Question

15．若实数x，y满足x-4$\sqrt{y}$=2$\sqrt{x-y}$，则x的取值范围是[4，20]∪{0}．

Answer 1

分析 本题可以采用代数法和几何法，通过换元，数形结合，分类讨论求解变量x的取值范围．

解答 解：方法一：【几何法】
当x=0时，解得y=0，符合题意，当x＞0时，解答如下：
令t=$\sqrt{y}$∈（0，$\sqrt{x}$]，原方程可化为：-2t+$\frac{x}{2}$=$\sqrt{x-t^2}$，
记函数f（t）=-2t+$\frac{x}{2}$，g（t）=$\sqrt{x-t^2}$，t∈（0，$\sqrt{x}$]，
这两个函数都是关于t的函数，其中x为参数，
f（t）的图象为直线，且斜率为定值-2，
g（t）的图象为四分之一圆，半径为为$\sqrt{x}$，
问题等价为，在第一象限f（t），g（t）两图象有公共点，
①当直线与圆相切时，由d=r解得x=20，
②当直线过的点A（0，$\frac{x}{2}$）在圆上的点（0，$\sqrt{x}$）处时，
即$\sqrt{x}$=$\frac{x}{2}$，解得x=4，
因此，要使直线与圆有公共点，x∈[4，20]，
综合以上分析得，x∈[4，20]∪{0}．
方法二：【代数法】
令t=$\sqrt{y}$∈（0，$\sqrt{x}$]，原方程可化为：x-4t=2$\sqrt{x-t^2}$，
因为x-y=x-t²≥0，所以x≥t²≥0，
两边平方并整理得，20t²-8xt+x²-4x=0（*），
这是一个关于t的一元二次方程，则方程（*）有两个非负数跟，
$\left\{\begin{array}{l}{△=64x^2-80（x^2-4x）≥0}\\{{t}_{1}{t}_{2}=\frac{1}{20}（x^2-4x）≥0}\end{array}\right.$，解得，x∈[4，20]∪{0}．
故答案为：[4，20]∪{0}．

点评 本题主要考查了函数与方程的相互转换，一元二次方程实根的判断，考查了分类讨论与数形结合的解题思想，属于难题．