Question

11．已知函数f（x）=-x²-2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{x+\frac{1}{4x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函数y=g（f（x））-a有4个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． （$\frac{1}{2}$，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）
• D． [1，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 分类讨论以确定函数y=g（f（x））的单调性及取值情况，从而作出函数y=g（f（x））的简图，从而结合图象解得．

解答 解：①当-x²-2x≤0，即x≤-2或x≥0时，
y=g（f（x））=-x²-2x+1，
故y=g（f（x））在（-∞，-2]上是增函数，y_max=1，
y=g（f（x））在[0，+∞）上是减函数，y_max=1；
②当-x²-2x＞0，即-2＜x＜0时，
y=g（f（x））=-x²-2x-$\frac{1}{4（{x}^{2}+2x）}$，
而y=-x²-2x在（-2，-1）上是增函数，在（-1，0）上是减函数；
且0＜-x²-2x≤1，
y=g（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函数；
令-x²-2x＜$\frac{1}{2}$解得，x∈（-2，-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）∪（-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，0）；
令-x²-2x＞$\frac{1}{2}$解得，x∈（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）；
故y=g（f（x））=-x²-2x-$\frac{1}{4（{x}^{2}+2x）}$
在（-2，-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）上是减函数，在（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，-1）上是增函数，
在（-1，-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）上是减函数，在（-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，0）上是增函数；
且f（g（-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$））=f（g（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$））=1，f（g（-1））=$\frac{5}{4}$；
故y=g（f（x））在（-∞，-2]上是增函数，y_max=1，
y=g（f（x））在[0，+∞）上是减函数，y_max=1；
作其图象如图，结合图象可知，
实数a的取值范围是[1，$\frac{5}{4}$），
故选D．

点评 本题考查了复合函数及分类讨论与数形结合的思想应用．