Question

1．已知函数f（x）=2^x+a的反函数是y=f^-1（x），设P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是y=f^-1（x）图象上不同的三点；
（1）求y=f^-1（x）；
（2）如果存在正实数x，使得y₁，y₂，y₃成等差数列，试用x表示实数a；
（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由y=2^x+a，解得x=log₂（y-a），把x与y互换可得：f^-1（x）（x＞a）；
（2）y₁=log₂x，y₂=log₂（x-a），y₃=log₂2=1，根据等差数列的性质可得2log₂（x-a）=1+log₂x，化为（x-a）²=2x，即可解出．
（3）由（x-a）²=2x，化为x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．分类讨论：当△=0时，当△＞0时，方程的有关根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．

解答 解：（1）由y=2^x+a，解得x=log₂（y-a），把x与y互换可得：f^-1（x）=log₂（x-a）（x＞a）；
（2）y₁=log₂x，y₂=log₂（x-a），y₃=log₂2=1，
∵y₁，y₂，y₃成等差数列，
∴2log₂（x-a）=1+log₂x，化为（x-a）²=2x，
解得a=x-$\sqrt{2x}$，x∈（0，2）∪（2，+∞）．
（3）由（x-a）²=2x，化为x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上由唯一解．
当△=4（a+1）²-4a²=0时，解得a=-$\frac{1}{2}$，这时方程有唯一解x=$\frac{1}{2}$，满足条件．
当△＞0时，方程的一个根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，
只需g（x）＜0即可，解得a＞0．
综上可得：a＞0，或a=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了对数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．