Question

2．以A（4，5）为顶点，试在x轴上找一点B，在直线2x-y+2=0上找一点C，使得△ABC周长最小．

Answer 1

分析 设A点关于x轴的对称点A′（x′，y′），关于直线l：2x-y+2=0的对称点为A^″（x^″，y^″），连接A′A^″交l于点C，交x轴于B点．由平面几何知识可知：点B，C即为所求．利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出．

解答 解：设A点关于x轴的对称点A′（x′，y′），关于直线l：2x-y+2=0的对称点为A^″（x^″，y^″），连接A′A^″交l于点C，交x轴于B点．
由平面几何知识可知：点B，C即为所求．
可得A′（4，-5）．
由于点A′与A^″关于直线l对称：∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{″}-5}{{x}^{″}-4}×2=-1}\\{2×\frac{{x}^{″}+4}{2}-\frac{{y}^{″}+5}{2}+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{″}=0}\\{{y}^{″}=7}\end{array}\right.$．
∴A^″（0，7），∴直线A′A^″的方程为：3x+y-7=0．
令y=0，解得x=$\frac{7}{3}$，∴B$（\frac{7}{3}，0）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7=0}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，∴C（1，4）．
于是|AB|+|BC|+|CA|=|A′A^″|=$\sqrt{（0-4）^{2}+（7+5）^{2}}$=4$\sqrt{10}$．
综上所述：所求的$B（\frac{7}{3}，0），C（1，4）$使得△ABC周长最小．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．