Question

14．已知P在△ABC所在平面内，$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定经过△ABC的垂心．

Answer 1

分析 可先根据积为零得出$\overrightarrow{BC}$与$λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}$+λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$，
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），
又$\overrightarrow{BC}•（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$=-$|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{BC}|$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{BC}$与$λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$垂直，
即$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心，
故答案为：垂心．

点评 本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，属于中档题