Question

9．已知实数a＞0，函数f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上最大值和最小值之差为|a²-a|+1，则实数a的值为2或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 分类讨论以确定函数的单调性及最值，从而建立方程，从而解得．

解答 解：若0＜a＜1，
函数f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上是减函数，
故f_min（x）=f（2）=a²+log_a2，f_max（x）=f（1）=a，
故f_max（x）-f_min（x）=a-（a²+log_a2）=|a²-a|+1，
解得，a=$\frac{1}{2}$；
若a＞1，
函数f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上是增函数，
故f_max（x）=f（2）=a²+log_a2，f_min（x）=f（1）=a，
故f_max（x）-f_min（x）=（a²+log_a2）-a=|a²-a|+1，
解得，a=2；
故答案为：2或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及基本初等函数的单调性的判断与应用．