Question

5．如图所示，正方体的棱长为1，C B′∩BC′=O，求：
（1）AO与A′C′所成角的度数；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）证明平面AOB与平面AOC垂直．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用和量法能求出AO与A′C′所成角的大小．
（2）求出$\overrightarrow{AO}$和面ABCD的法向量，利用向量法能求出AO与平面ABCD所成角的正切值．
（3）求出平面AOB的法向量和平面AOC的法向量，利用向量法能证明平面AOB与平面AOC垂直．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），O（$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），A‘（1，0，1），C′（0，1，1），
$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}$=（-1，1，0），
设AO与A′C′所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}|}{|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=30°，
∴AO与A′C′所成角为30°．
（2）∵$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设AO与平面ABCD所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
cosα=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴tanα=$\frac{\frac{\sqrt{30}}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{6}}$=$\sqrt{5}$．
∴AO与平面ABCD所成角的正切值为$\sqrt{5}$．
证明：（3）C（0，1，0），$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设平面AOB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}=-\frac{1}{2}x+y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面AOC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AO}=-\frac{1}{2}a+b+\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-a+b=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+0-1=0，
∴平面AOB与平面AOC垂直．

点评 本题考查异面直线所成角的大小和线面角的正切的求法，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．