【题目】已知函数f(x)=x3﹣3x2﹣m,g(x)=3ex﹣6(1﹣m)x﹣3(m∈R,e为自然对数底数).
(1)试讨论函数f(x)的零点的个数;
(2)证明:当m>0,且x>0时,总有g(x)>f'(x).
【答案】
(1)解:函数f(x)的零点即方程x3﹣3x2=m的根,
令h(x)=x3﹣3x2,则h′(x)=3x(x﹣2),
令h′(x)>0,解得:x>2或x<0,
令h′(x)<0,解得:0<x<2,
故h(x)在(﹣∞,0)递增,在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,
而h(0)=0,h(2)=﹣4,
故m>0或m<﹣4时,函数1个零点,
m=0或m=﹣4时,函数2个零点,
﹣4<m<0时,函数3个零点
(2)证明:f′(x)=3x2﹣6x,
设h(x)=g(x)﹣f′(x)=3ex﹣3x2+6mx﹣3,(x>0),
则h′(x)=3(ex﹣2x+2m),
令m(x)=ex﹣2x+2m,则m′(x)=ex﹣2,
令m′(x)>0,解得:x>ln2,
令m′(x)<0,解得:x<ln2,
故m(x)在(0,ln2)递减,在(ln2,+∞)递增,
故m(x)≥m(ln2)=2(m﹣ln2+1),
由m>0,解得:m>ln2﹣1,
故m(ln2)>0,m(x)>0,即h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)递增,
故x>0时,h(x)>h(0)=0,
故m>0且x>0时,g(x)>f'(x)
【解析】(1)问题转化为方程x3﹣3x2=m的根,令h(x)=x3﹣3x2 , 根据函数的单调性求出h(x)的极值,通过讨论m的范围判断函数的零点个数即可;(2)设h(x)=g(x)﹣f′(x)=3ex﹣3x2+6mx﹣3,(x>0),求出函数的导数,根据函数的单调性求出h(x)>h(0),从而证明结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】如图是由正整数构成的数表,用aij表示i行第j个数(i,j∈N+).此表中ail=aii=i,每行中除首尾两数外,其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和.
(1)写出数表的第六行(从左至右依次列出).
(2)设第n行的第二个数为bn(n≥2),求bn.
(3)令,记Tn为数列前n项和,求的最大值,并求此时n的值.
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【题目】某小朋友按如下规则练习数数,大拇指,食指,中指,无名指,小指,无名指,中指,食指,大拇指,食指,,一直数到时,对应的指头是( )
A. 小指 B. 中指 C. 食指 D. 无名指
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【题目】已知椭圆 的离心率为 ,且它的一个焦点 的坐标为 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设过焦点 的直线与椭圆相交于 两点, 是椭圆上不同于 的动点,试求 的面积的最大值.
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【题目】
为了保护环境,发展低碳经济,某单位在政府部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,新上了把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品的项目.经测算,月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可以近似的表示为:,且每处理一吨二氧化碳可得到能利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.
(I)当时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损;
(II)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
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【题目】已知函数.
(1)当时,恒成立,求实数m的取值范围;
(2)是否存在整数a、b(其中a、b是常数,且a<b),使得关于x的不等式的解集为?若存在,求出a、b的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知二次函数的图象过点(1,13),且函数 是偶函数.
(1)求的解析式;
(2)已知,,求函数在[,2]上的最大值和最小值;
(3)函数的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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