Question

【题目】已知二次函数的图象过点（1，13），且函数 是偶函数.

（1）求的解析式；

（2）已知,，求函数在[，2]上的最大值和最小值；

（3）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.

【解析】分析：（1）由是偶函数，知函数的对称轴是，再由二次函数性质可得；

（2）由（1），按的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间的关系分类可求得最值；

（3）假设存在，并设点坐标P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即 ，注意到43是质数，且，可得，，从而得解.

详解：（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故.

又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故.

因此，的解析式为.

（2） 当时，，

当时，，

由此可知=0．

当，；

当，；

当，；

（3）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，

即.

注意到43是质数，且，，所以有解得

因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.