Question

9．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列，满足b₁=a₂=2，a₅+a₉=14，b₄=a₁₅+1
（I）求数列{a_n}，{b_n}通项公式；
（II）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₂=2，a₅+a₉=14，
∴a₁+d=2，2a₁+12d=14，解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴b₁=a₂=2，b₄=a₁₅+1=16=2×q³，
∴q=2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．