Question

已知圆C的方程为x²+（y-4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）过（1，3）点作圆的弦，求最小弦长？

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据直线l与圆相交，得到圆心到直线l的距离d小于半径，即可求出k的取值范围；
（Ⅱ）当圆心与（1，3）连线为弦心距时，弦长最小，利用两点间的距离公式求出弦心距，由垂径定理及勾股定理求出最小弦长即可．

解答： 解：（I）由圆的方程得：圆心C（0，4），半径r=2，
∵直线l与圆C相交于M，N两点，
∴圆心（0，4）到直线kx-y=0的距离d=

|-4|

1+k2

＜2，
整理得：1+k²＞4，即k²＞3，
解得：k＞

3

或k＜-

3

；
（II）当圆心与（1，3）连线为弦心距时，弦长最小，
∵圆心C到（1，3）的距离为

(1-0)2+(3-4)2

=

2

，半径r=2，
根据题意得：最小弦长为2

22-( 2 )2

=2

2

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．