Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=511，4a_n=a_n-1-3（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=|log₂（a_n+1）|，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由${a_n}=\frac{1}{4}{a_{n-1}}-\frac{3}{4}$知：${a_n}+1=\frac{1}{4}（{a_{n-1}}+1）$，利用等比数列的通项公式即可得出；
（ II）b_n=|11-2n|，设数列{11-2n}的前n项和为T_n，则${T_n}=10n-{n^2}$．当n≤5时，S_n=T_n；当n≥6时，S_n=2S₅-Tn．

解答 （I）证明：由${a_n}=\frac{1}{4}{a_{n-1}}-\frac{3}{4}$知：${a_n}+1=\frac{1}{4}（{a_{n-1}}+1）$，
∴数列{a_n+1}是以512为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列．
则${a_n}+1={2^{11-2n}}$，${a_n}={2^{11-2n}}-1$．
（ II）解：b_n=|11-2n|，
设数列{11-2n}的前n项和为T_n，则${T_n}=10n-{n^2}$，
当n≤5时，${S_n}={T_n}=10n-{n^2}$；
当n≥6时，${S_n}=2{S_5}-{T_n}={n^2}-10n+50$；
所以${S_n}=\left\{\begin{array}{l}10n-{n^2}，n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．