Question

9．已知等差数列{a_n}中，2a₂+a₃+a₅=20，且前10项和S₁₀=100．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵2a₂+a₃+a₅=20，且前10项和S₁₀=100，
∴4a₁+8d=20，$10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}$d=100，
联立解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．