Question

18．（1）解不等式：|x-1|+|x-2|≤2．
（2）求函数$y=x\sqrt{1-{x^2}}（{0＜x＜1}）$的最大值．

Answer 1

分析 （1）讨论x的取值范围，去掉绝对值，把原不等式化简、求出解集；
（2）利用基本不等式即可求出函数$y=x\sqrt{1-{x^2}}（{0＜x＜1}）$的最大值．

解答 解：（1）当1≤x≤2时，原不等式化为x-1+2-x≤2，不等式恒成立，∴1≤x≤2；
当x＜1时，原不等式化为1-x+2-x≤2，解得x≥$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤x＜1；
当x＞2时，原不等式化为x-1+x-2≤2，解得x≤$\frac{5}{2}$，∴2＜x≤$\frac{5}{2}$；
综上，不等式|x-1|+|x-2|≤2的解集为{x|$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$}；
（2）∵0＜x＜1，∴函数y=x$\sqrt{1{-x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}{+（\sqrt{1{-x}^{2}}）}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当x²=$\sqrt{1{-x}^{2}}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取“=”，
∴函数$y=x\sqrt{1-{x^2}}（{0＜x＜1}）$的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的应用问题，是综合题．