Question

已知数列{a_n}满足a₁＜2，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N ^*）且

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=1，则a₂₀₁₅-4a₁的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由题意可知：a₁＜2，a_n≠1，a_n≠0．由a_n+1-1=a_n（a_n-1）可得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．利用“裂项求和”可得a2015=

1

2-a1

，a₂₀₁₅-4a₁=

1

2-a1

+4（2-a₁）-8，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：由题意可知：a₁＜2，a_n≠1，a_n≠0．
由a_n+1-1=a_n（a_n-1）可得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．
∴1=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

a2014-1

-

1

a2015-1

)=

1

a1-1

-

1

a2015-1

．
化为a2015=

1

2-a1

，
∴a₂₀₁₅-4a₁=

1

2-a1

+4（2-a₁）-8≥2

4(2-a1)• 1 2-a1

-8=-4，当且仅当a₁=

3

2

时取等号．
故a₂₀₁₅-4a₁的最小值为-4．
故答案为：-4．

点评：本题考查了“裂项求和”、数列变形、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．