已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,过点P(1,-4)作函数F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]图象的切线,试问这样的切线有几条?并求出这些切线方程.
(1) 1-3ln 2 (2) 0<a< (3) 满足条件的切线只有一条,其方程为5x+y-1=0.
解析解:(1)由题可知f′=1,解得a=1,
故f(x)=x--3ln x,∴f′(x)=,
由f′(x)=0得x=2或x=1.
于是可得x∈的下表:
于是可得f(x)min="f(2)=1-3ln" 2. 2 (2,3] f′(x) - 0 + f(x) ↘ 1-3ln 2 ↗
(2)∵f′(x)=a+-= (x>0),
由题可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1、x2,
则
解得0<a<.
(3)由(1)f(x)=x--3ln x,
故F(x)=x3-3x2-2x(x>0),F′(x)=3x2-6x-2(x>0).
设切点为T(x0,y0),由于点P在函数F(x)的图象上,
①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x0≠1时,由于切线过点P(1,-4),则=3-6x0-2,
所以-3-2x0+4=(x0-1)(3-6x0-2),
化简得-3+3x0-1=0,即(x0-1)3=0,
解得x0=1(舍去).
②当切点T与点P(1,-4)重合,即x0=1时,
则切线的斜率k=F′(1)=-5,
于是切线方程为5x+y-1=0.
综上所述,满足条件的切线只有一条,
其方程为5x+y-1=0.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2,g(x)=2elnx(x>0)(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)(x>0)的单调区间及最小值;
(2)是否存在一次函数y=kx+b(k,bR),使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx+b对一切x>0恒成立?若存在,求出该一次函数的表达式;若不存在,请说明理由.
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一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需400元,火车的最高速度为100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=+ln x.
(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.
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设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x >0时,ex>x2-2ax+1
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