已知函数f(x)=x2,g(x)=2elnx(x>0)(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)(x>0)的单调区间及最小值;
(2)是否存在一次函数y=kx+b(k,bR),使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx+b对一切x>0恒成立?若存在,求出该一次函数的表达式;若不存在,请说明理由.
(1)当时,F(x)在上单调递减;当时,F(x)在上单调递增.
;(2)存在一次函数,使得当x>0时,,且恒成立.
解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性及最值等数学知识,考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,对求导,利用,解出单调区间,通过单调性判断出最小值所在位置,并且求出即可;第二问,通过第一问的求解可以知道与图像有且仅有一个公共点,猜想所求的直线就是在公共点处的公切线,下面只需对猜想进行证明即可,只需证明当x>0时,,且恒成立即可,进一步转化为证明,即可,通过构造函数,利用导数求最值进行证明.
试题解析:(1) (x>0),
令F′(x)=0,得(舍),
∴当时,F′(x)<0,F(x)在上单调递减;
当时,F′(x)>0,F(x)在上单调递增.
∴当时,F(x)有极小值,也是最小值,
即.
∴F(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,最小值为0.(7分)
(2)由(1)知,f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点,
∴猜想:一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点处的公切线,
其方程为.
下面证明:当x>0时,,且恒成立.
∵,∴对x>0恒成立.
又令,∴,
∴当时,,G(x)在上单调递减;
当时,G′(x)>0,G(x)在上单调递增.
∴当时,G(x)有极小值,也是最小值,
即,∴G(x)≥0,即恒成立.
故存在一次函数,使得当x>0时,,且恒成立.(14分)
考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.利用导数求函数的最值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,过点P(1,-4)作函数F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]图象的切线,试问这样的切线有几条?并求出这些切线方程.
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