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已知函数f(x)=x2,g(x)=2elnx(x>0)(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)(x>0)的单调区间及最小值;
(2)是否存在一次函数y=kx+b(k,bR),使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx+b对一切x>0恒成立?若存在,求出该一次函数的表达式;若不存在,请说明理由.

(1)当时,F(x)在上单调递减;当时,F(x)在上单调递增.
;(2)存在一次函数,使得当x>0时,,且恒成立.

解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性及最值等数学知识,考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,对求导,利用解出单调区间,通过单调性判断出最小值所在位置,并且求出即可;第二问,通过第一问的求解可以知道图像有且仅有一个公共点,猜想所求的直线就是在公共点处的公切线,下面只需对猜想进行证明即可,只需证明当x>0时,,且恒成立即可,进一步转化为证明即可,通过构造函数,利用导数求最值进行证明.
试题解析:(1) (x>0),
令F′(x)=0,得(舍),
∴当时,F′(x)<0,F(x)在上单调递减;
时,F′(x)>0,F(x)在上单调递增.
∴当时,F(x)有极小值,也是最小值,
.
∴F(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,最小值为0.(7分)
(2)由(1)知,f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点
∴猜想:一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点处的公切线,
其方程为.
下面证明:当x>0时,,且恒成立.
,∴对x>0恒成立.
又令,∴
∴当时,,G(x)在上单调递减;
时,G′(x)>0,G(x)在上单调递增.
∴当时,G(x)有极小值,也是最小值,
,∴G(x)≥0,即恒成立.
故存在一次函数,使得当x>0时,,且恒成立.(14分)
考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.利用导数求函数的最值.

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