Question

【题目】已知椭圆：的左焦点为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，.当四边形是平行四边形时，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意可得，，，再结合求出，即可得椭圆的离心率；

（2）设，由求出直线方程，设，，联立直线与椭圆的方程并消元，由韦达定理得到根与系数的关系，由四边形是平行四边形得到，从而解出，即可计算四边形的面积.

解：（1）由题意可得，，，

又由，，解得，

椭圆的离心率.

（2）设点的坐标为，

则直线的斜率，

当时，直线的斜率，直线的方程是.

当时，直线的方程是，也满足方程，

设，，

将直线的方程与椭圆的方程联立，得，

消去，得，

其判别式，

，，，

四边形是平行四边形，

，即，

，

，

解得，

，

，

平行四边形的面积为.