Question

【题目】已知函数（）.

（1）求函数的极值；

（2）当时，若函数有两个极值点，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）先求导，然后利用导数去求解函数的极值；

（2）由（1）先求出两个极值点的具体值，然后再代入求得的表达式，化简后通过构造函数求得其单调性，即可证明结论.

（1）由题意可得，

当时，，函数的单调性和极值如表：

		－1
	+	0	－	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴，，

当时，，，函数在上单调递增，

无极值，

当时，，函数的单调性和极值如表：

				－1
	+	0	－	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴，

，

综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为，

当时，无极值，

当时，函数的极大值为，极小值为；

（2）由题意得，即，

由（1）可知，，

∴，

，

∴，

令，则，

∴在上单调递减，

∴，即.

∵，∴.