Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝1，

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且BE∥平面ACF，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）根据，利用勾股定理得PA⊥AB，PA⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到PA⊥平面ABCD，从而PA⊥BD，再根据ABCD为正方形，有AC⊥BD得证.

（2）连接ED，取ED的中点M，由三角形的中位线定理得BE∥OM，从而BE∥平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F．然后建立空间直角坐标系，分别求得平面ACF，平面ACD的法向量，代入向量夹角公式求解.

（1）证明：∵，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD．

又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC．

（2）如图，

连接ED，取ED的中点M，

设AC∩BD＝O，连接OM，则BE∥OM，

从而BE∥平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F．

建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，，

，

平面ACF即平面ACM，设其法向量为，

则即令x＝1，得，

易知平面ACD的一个法向量为，

∴，

因为二面角F﹣AC﹣D为锐二面角，

故所求余弦值为：．