Question

【题目】已知函数．

（1）若函数y＝f(x)为偶函数，求k 的值；

（2）求函数y＝f(x)在区间[0，4]上的最大值；

（3）若方程f(x)=0 有且仅有一个根，求实数k 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，其最大值为；当时，其最大值为0．

（3）．

【解析】

（1）根据偶函数的定义，即可求出k 的值；

（2）根据定义去掉绝对值，将函数写成分段式，即可知函数的最大值等于，讨论即得；

（3）显然，可知是方程的一个根，因为方程f(x)=0 有且仅有一个根，故当时．方程无解，当时，无解，即可求出实数的取值范围．

（1）因为函数为偶函数且定义域为，所以，令，

即，解得，检验符合题意．故．

（2）当时，，可知由两段抛物线的一部分组成，因为这两个抛物线的开口均向上，所以其最大值为，

，，，显然，

当时，其最大值为；当时，其最大值为0．

（3）因为是方程的一个根，方程有且仅有一个根，所以当时，方程无解，且当时，无解，

故且，即，实数的取值范围是．