Question

【题目】设A（n）表示正整数n的个位数，an=A（n2）﹣A（n），A为数列{an}的前202项和，函数f（x）=ex﹣e+1，若函数g（x）满足f[g（x）﹣ ]=1，且bn=g（n）（n∈N*），则数列{bn}的前n项和为 ．

Answer 1

【答案】n+3﹣（2n+3）?（ ）n
【解析】解：n的个位数为1时有：an=A（n2）﹣A（n）=0，

n的个位数为2时有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣2=2，

n的个位数为3时有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣3=6，

n的个位数为4时有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣4=2，

n的个位数为5时有：an=A（n2）﹣A（n）=5﹣5=0，

n的个位数为6时有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣6=0，

n的个位数为7时有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣7=2，

n的个位数为8时有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣8=﹣4，

n的个位数为9时有：an=A（n2）﹣A（n）=1﹣9=﹣8，

n的个位数为0时有：an=A（n2）﹣A（n）=0﹣0=0，

每10个一循环，这10个数的和为：0，

202÷10=20余2，余下两个数为：a201=0，a202=2，

∴数列{an}的前202项和等于：a201+a202=0+2=2，

即有A=2．

函数函数f（x）=ex﹣e+1为R上的增函数，且f（1）=1，

f[g（x）﹣ ]=1=f（1），

可得g（x）=1+ =1+ ，

则g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，

即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，

则数列{bn}的前n项和为n+[1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n]，

可令S=1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n，

S=1（ ）2+3（ ）3+5（ ）4++（2n﹣1）（ ）n+1，

两式相减可得 S= +2[（ ）2+（ ）3+（ ）4++（ ）n]﹣（2n﹣1）（ ）n+1

= +2 ﹣（2n﹣1）（ ）n+1，

化简可得S=3﹣（2n+3）（ ）n，

则数列{bn}的前n项和为n+3﹣（2n+3）（ ）n．

故答案为：n+3﹣（2n+3）（ ）n．

先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得A=2，再由函数f（x）为R上的增函数，求得g（x）的解析式，即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，化简整理即可得到所求和．