Question

【题目】已知f（x）=ax2﹣2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2﹣2lnx，x∈（0，e]，

∴f′（x）=2ax﹣ = ，

当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=1；

当a=1时，f′（x）= 在（0，1）上小于0，∴f（x）是减函数，

f′（x）= 在（1，e]上大于0，∴f（x）是增函数，

∴f（1）是函数的极小值，此时a的值为1；

（2）解：∵f′（x）=2ax﹣ = ，x∈（0，e]，

当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，∴（0，e]是单调减区间；

当a＞0时，令f′（x）=0，则 =0，∴ax2﹣1=0，解得x= ，

①若a＞ ，则f′（x）在（0， ）上小于0，f（x）是减函数，∴（0， ）是单调减区间；

f′（x）在（ ，e]上大于0，f（x）是增函数，∴（ ，e]是单调增区间；

②若a≤ ，则f′（x）在（0，e]上小于0，f（x）是减函数，∴（0，e]是单调减区间；

综上，当a≤ 时，（0，e]是f（x）的单调减区间；

当a＞ 时，（0， ）是f（x）的单调减区间，（ ，e]是f（x）的单调增区间．

【解析】（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，从而求得a的值；（2）求出f′（x），其中x∈（0，e]，讨论f′（x）在a＞0、a≤0时，是否大于0？小于0？从而确定f（x）的单调区间．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．