Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+x²-x （a∈R），
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设a＞0，如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），均有f（x₁）-f（x₂）＞3|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）将不等式进行转化，即可得到结论．

解答： 解：（I）由题，a=1时，f（1）=0，f′（1）=3，故所求切线方程为3x-y-3=0；  …（4分）
（Ⅱ） f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=

a+1

x

+2x-1=

2x2-x+a+1

x

，△=1-8（a+1）=-8a-7，
①a≥-

7

8

时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
②-1＜a＜-

7

8

时，f（x）增区间为（0，

1- -8a-7

4

），（

1+ -8a-7

4

，+∞），
减区间为（

1- -8a-7

4

，

1+ -8a-7

4

）；
③a≤-1时，f（x）增区间为），（

1+ -8a-7

4

，+∞），减区间为（0，

1- -8a-7

4

）；（8分）
（ III） 由（ II）a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，不妨设x₁＞x₂，
则有f（x₁）-f（x₂）＞3（x₁-x₂），即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-3x₂恒成立，
故y=f（x）-3x在（0，+∞）上为增函数，y′=

a+1

x

+2x-4≥0，
即2

2(a+1)

-4≥0，
解得a≥1，
即a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及函数单调性和最值与导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．