Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为-1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，e^x＞x²+1；
（Ⅲ）证明：当n∈N^*时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln

(n+1)3

(3e)n

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,数学归纳法

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的f′（x）=e^x-a．通过f′（x）=e^x-2＞0，即可求解函数f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，化简f（x）≥1-ln4．构造g（x）=e^x-x²-1，通过g′（x）＞0．判断g（x）在（0，+∞）上单调递增，得到g（x）＞g（0），推出结果．
（Ⅲ）首先证明：当x＞0时，恒有ex＞

1

3

x3．令h(x)=ex-

1

3

x3，则h′（x）=e^x-x²．推出h（x）在（0，+∞）上单调递增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln

(n+1)3

3nen

．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，所以a=2．所以f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2．
由f'（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2．
所以函数f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)min=f(ln2)=eln2-2ln2-1=1-ln4．
所以f（x）≥1-ln4，即e^x-2x-1≥1-ln4，e^x-2x≥2-ln4＞0．
令g（x）=e^x-x²-1，则g'（x）=e^x-2x＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）=e^x-x²-1＞g（0）=0，即e^x＞x²+1．…（8分）
（Ⅲ）首先证明：当x＞0时，恒有ex＞

1

3

x3．
证明如下：令h(x)=ex-

1

3

x3，则h'（x）=e^x-x²．
由（Ⅱ）知，当x＞0时，e^x＞x²，所以h（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=1＞0，所以ex＞

1

3

x3．
所以x＞ln(

1

3

x3)，即x+ln3＞3lnx．
依次取x=

2

1

，

3

2

，…，

n+1

n

，代入上式，则

2

1

+ln3＞3ln

2

1

，

3

2

+ln3＞3ln

3

2

，…

n+1

n

+ln3＞3ln

n+1

n

．
以上各式相加，有

2

1

+

3

2

+…+

n+1

n

+nln3＞3ln(

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

)
所以n+(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+nln3＞3ln(n+1)，
所以1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞3ln(n+1)-nln3-n，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln

(n+1)3

3nen

．…（14分）
另解：用数学归纳法证明（略）

点评：本题考查函数的导数的应用，构造法以及累加法的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．是难题．