Question

【题目】已知点F为抛物线E:的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3
．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G(-1，0) ， 延长AF交抛物线E于点B ， 证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

详见解析

【解析】解法一：（1）由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3，即2+=3，解得p=2，所以抛物线E的方程为=4x。
（2）因为点A(2，m)在抛物线E：=4x上，所以m=，由抛物线的对称性，不妨设A(2，). 由A(2，)，F(1，0)得直线AF的方程式为y=（x-1）。 由,得, 解得x=2或x=，从而B(,-),又G(-1，0)，所以，所以+=0，从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等。故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切。
解法二：（1）同解法一。
（2）设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r。 因为点A(2，m)在抛物线E：=4x上，所以m=，由抛物线的对称性，不妨设A(2，). 由A(2，)，F(1，0)得直线AF的方程式为y=（x-1）。 由,得, 解得x=2或x=，从而B(,-)，又G(-1，0)，故直线GA的方程式为，从而，又GB的方程式为，所以点F到直线,GB的距离，这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切。