Question

12．在等比数列{a_n}中，
（1）S₂=30，S₃=155，求S_n；
（2）a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，求S₅；
（3）a_n＞0，S_n=80，S_2n=6560，前n项中最大的一项为54，求a₁，q．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（3）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式及其数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）S₂=30，S₃=155，
∴公比q≠1，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q）=30}\\{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=155}\end{array}\right.$，解得a₁=q=5，或$q=-\frac{5}{6}$，a₁=180．
∴S_n=$\frac{5（{5}^{n}-1）}{5-1}$=$\frac{{5}^{n+1}-5}{4}$或S_n=$\frac{180[1-（-\frac{5}{6}）^{n}]}{1-（-\frac{5}{6}）}$=$\frac{1080}{11}[1-（-\frac{5}{6}）^{n}]$．
（2）∵a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{2}）=10}\\{{a}_{1}{q}^{3}（1+{q}^{2}）=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴S₅=$\frac{8[1-（\frac{1}{2}）^{5}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{2}$．
（3）a_n＞0，S_n=80，S_2n=6560，设公比为q≠1．
则$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=80，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=6560，
可得qⁿ=81，a₁=q-1．
${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$=$\frac{81}{q}$（q-1）=81-$\frac{81}{q}$≤54，可得q≤3．
∵a_n＞0，∴1＜q≤3．
解得a₁=2，q=3，n=4，满足前n项中最大的一项为54．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．