Question

3．已知数列a_n}满足$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$（n≥3），求证：{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，n≥3，①，得到$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，n≥3，②，两式相减，根据等差数列的定义即可证明/

解答 证明：∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，n≥3，①
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，n≥3，②
②-①可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$-=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，两边同乘以a₁a_na_n+1可得
a₁=na_n-（n-1）a_n+1，
∴a₁=（n+1）a_n+1-na_n+2，
两式相减可得0=-na_n+2+（n+1）a_n+1+（n-1）a_n+1-na_n，
∴0=-na_n+2+2na_n+1-na_n，
∴2a_n+1=a_n+2+a_n，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}为等差数列．

点评 本题考查等差数列的定义，关键等式，利用作差法，属中档题．