Question

15．（1）解方程（x+8）²⁰⁰⁵+x²⁰⁰⁵+2x+8=0；
（2）解方程$\frac{2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+1+\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}}$=${2}^{（x-1）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）原方程变形为：（x+4+4）²⁰⁰⁵+（x+4-4）²⁰⁰⁵+2（x+4）=0，令x+4=t，则原方程变为：（t+4）²⁰⁰⁵+（t-4）²⁰⁰⁵+2t=0，展开化为：2t$（{t}^{2004}+{∁}_{2005}^{2003}{t}^{2002}×{4}^{2}+$…+${∁}_{2005}^{2004}×{4}^{2004}+1）$=0，即可得出．
（2）方程$\frac{2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+1+\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}}$=${2}^{（x-1）^{2}}$≥1，化为$\sqrt{4{x}^{2}+1}$$-\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$≥（x-1）²≥0，化为：4x²+1≥（x²+1）²+1，即2|x|≥x²+1，利用不等式的基本性质即可得出．

解答 解：（1）原方程变形为：（x+4+4）²⁰⁰⁵+（x+4-4）²⁰⁰⁵+2（x+4）=0，
令x+4=t，则原方程变为：（t+4）²⁰⁰⁵+（t-4）²⁰⁰⁵+2t=0，
化为2$（{t}^{2005}+{∁}_{2005}^{2003}{t}^{2003}×{4}^{2}+…+{∁}_{2005}^{2004}t×{4}^{2004}）$+2t=0，
可得：2t$（{t}^{2004}+{∁}_{2005}^{2003}{t}^{2002}×{4}^{2}+$…+${∁}_{2005}^{2004}×{4}^{2004}+1）$=0，
可知：只有当t=0即x=-4时，上述方程成立，因此-4是此方程的唯一的一个实数根．
（2）∵方程$\frac{2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+1+\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}}$=${2}^{（x-1）^{2}}$≥1，
∴$2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}$≥x²+1+$\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$，
化为$\sqrt{4{x}^{2}+1}$$-\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$≥（x-1）²≥0，
∴$\sqrt{4{x}^{2}+1}$≥$\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$，
化为：4x²+1≥（x²+1）²+1，
∴2|x|≥x²+1，此式当且仅当x=±1时成立，经过验证x=-1时舍去．
∴原方程的解为：x=1．

点评 本题考查了二项式定理的应用、不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．